已知m²-5m+1=0求m/(m²-m+1)的值

Question

求解图中的题目

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Answer

由 $m^2-5m+1=0$，求 $\frac{m}{m^2-m+1}$。

先确定 $m\ne 0$​：若 $m=0$，代入原式得 $1=0$，矛盾，所以可以放心在分式中约掉 $m$。

变形原式：

代入分母：

代回原式：

所以答案是 $\boxed{\frac{1}{4}}$。

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另一种经典思路（除以 $m$，构造对称式）​：原式两边同除以 $m$ 得

再把目标式的分子分母同除以 $m$：

两种方法殊途同归，第二种在"已知 $m$ 与 $\frac{1}{m}$ 的和、求对称分式"这类题里更通用。

• 关键概念

  • 从 $m^2-5m+1=0$ 能直接提取出 $m^2+1=5m$，这是"整体代入"的入口。
  • 含 $m$ 与 $\frac{1}{m}$ 的对称式题目，除以 $m$ 是标准操作。

• 易混淆点

  • 忘记先说明 $m\ne 0$ 就约分 —— 正确做法是先检验：$m=0$ 不满足原方程，故约分合法。
  • 把分母 $m^2-m+1$ 抄成 $m^2+m+1$（符号出错）—— 正确是 $(m^2+1)-m=5m-m$，而不是相加。
  • 硬解 $m=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}$ 再代入 —— 计算量大且容易算错，整体代换只需一步。